Sinusoidi e numeri complessi

Le relazioni esistenti tra tensione e corrente nei bipoli e nelle reti, sono valide in ogni istante: nota l’evoluzione nel tempo di una delle due grandezze, si può ad ogni istante determinare l’altra in maniera univoca. Nei precedenti articoli si sono considerate, prevalentemente, grandezze costanti nel tempo, sia perché possono schematizzare un gran numero di circuiti reali, sia perché consentono un’ agevole trattazione algebrica.

Quando le grandezze variano con una legge qualsiasi nel tempo, le relazioni sono differenziali, cioè descrivono il loro modo di variare tramite legami che coinvolgono le grandezze stesse e le loro variazioni (differenze) nel tempo. La soluzione matematica delle equazioni che ne derivano non è semplicissima. Opportune trasformazioni matematiche consentono però di utilizzare metodi algebrici. Un caso molto importante, è relativo ad un andamento particolare delle grandezze elettriche nel tempo, rappresentabile con la funzione che in matematica è detta sinusoidale. Le ragioni sono essenzialmente due: la prima pratica, in quanto è più facile produrre energia elettrica con tensioni sinusoidali; la seconda, teorica, è che la sinusoide è, in un certo senso, la capostipite di ogni funzione che si ripete nel tempo ad intervalli regolari, detti periodi; il teorema di Fourier dimostra infatti che una qualsiasi funzione periodica è scomponibile in una somma di infinite sinusoidi di ampiezza decrescente con l’aumentare della frequenza.

Una tensione sinusoidale ai capi di un bipolo (o la corrente in esso), è espressa dalla funzione matematica:

y(t)=Y M . sin(w . t + a) 5. 1

La figura 5.1, la rappresenta graficamente, elencando e definendo i parametri che la caratterizzano: periodo, frequenza, pulsazione, valore massimo, fase.

Altri parametri importanti sono il valore efficace ed il valore medio in un semiperiodo.

Fig 5.2

Geometricamente è l’altezza di un rettangolo che ha come base l’intervallo D t, la cui area è uguale all’area che, nello stesso D t, sta tra la curva della grandezza variabile e l’asse dei tempi. Sono da considerare positive le aree sopra l’asse, negative quelle sotto. Quindi si ha

La fig. 5.2 mostra un esempio numerico.

Per una grandezza alternata il valore medio in un periodo è nullo: la grandezza sinusoidale è l’alternata per eccellenza e per essa si considera come valore medio quello in un semiperiodo che vale

U m =0, 637*U M 5. 2

Il valore efficace di una grandezza che varia nel tempo, è quel valore che, mantenuto costante, dà luogo alla stessa dissipazione energetica.

Fig 5.3

In altre parole alimentando una resistenza con una tensione continua U si dissipa in calore la stessa energia dovuta ad una tensione variabile il cui valore efficace sia U (in un intervallo di tempo molto maggiore del periodo).

Poiché l’energia dissipata su una R dipende dal quadrato di U (o di I), il valore efficace si può calcolare come la radice quadrata del valore medio della curva dei quadrati. Nella fig. 5.3 la grandezza y(t) è considerata nell'intervallo tra 0 e 15 s ( D t=15). Da essa è ricavata la y 2 (t) di cui si calcola il valore medio che à il quadrato del valore efficace.

Nel caso di una grandezza sinusoidale il valore efficace è legato al valore massimo dalla relazione

U=U M / Ö 2 = U M /1, 41=0, 707*U M 5. 3

Per la sua importanza dal punto di vista energetico, è usuale caratterizzare una grandezza sinusoidale mediante il valore efficace.

Il rapporto tra valore efficace e valore medio di una grandezza variabile ne definisce la forma ed è per questo chiamato fattore di forma. Per la sinusoide si ha:

K f =0, 707/0, 637=1, 11 5. 4

Riepilogando: la grandezza sinusoidale è una grandezza periodica (cioè ripete ciclicamente i suoi valori e l’intervallo di ripetizione è il periodo, mentre il numero di periodi in un secondo è la frequenza), alternata (i valori negativi compensano nel periodo quelli positivi: si dice a valore medio nullo), il cui valore efficace è 0, 707 volte il suo valore di picco (o valore massimo) ed il cui fattore di forma vale 1, 11.

Due sinusoidi isofrequenziali sono in fase se le loro fasi sono identiche o differiscono di 360°: in tal caso si annullano contemporaneamente e contemporaneamente raggiungono i massimi positivi e negativi.

Sono in opposizione di fase se le fasi differiscono di 180°: si annullano allora contemporaneamente ma raggiungono, contemporaneamente, i massimi di segno opposto.

Il valore massimo della somma di due grandezze in opposizione di fase è la differenza dei valori massimi.

Sono in quadratura se le fasi differiscono di 90°: in questo caso quando una è massima l’altra è nulla.

Il valore massimo di due grandezze in quadratura è la radice quadrata della somma dei quadrati dei valori massimi.

Una sinusoide anticipa se la differenza tra le fasi è positiva; ritarda se la differenza delle fasi è negativa. Si noti che un ritardo di b corrisponde ad un anticipo di 360 - b.

Nella fi. 5.4 sono rappresentate le relazioni di fase.

fig. 5.4

La distribuzione dell’energia elettrica avviene proprio in c.a.s. con frequenza di 50 Hz (60 Hz in USA). La tensione di una utenza civile è generalmente di 220 V, valore efficace. Il valore di picco della tensione è dunque di 311 V. La pulsazione è di 314 rad/s (18000 °/s)

Sappiamo, per i principi di Kirchhoff, che l’intensità della corrente in un ramo uscente da un nodo è la somma algebrica delle intensità di corrente degli altri rami che confluiscono nel nodo e che la tensione tra due punti è la somma algebrica delle tensioni ai capi dei rami che formano un percorso che unisce i due punti.

fig. 5.5

Ciò che subito ci chiediamo allora è: se le correnti o le tensioni componenti sono sinusoidali, che forma ha la loro somma algebrica? Non è difficile dimostrare che, se hanno la stessa frequenza, è ancora una sinusoide della stessa frequenza.

Nella fig. 5.5 è eseguita per punti la somma algebrica della sinusoide verde e della sinusoide rossa. I punti blu corrispondono al valore della somma dei valori istantanei. Si può vedere che essi si distribuiscono secondo la sinusoide blu che ha lo stesso periodo.

Il problema è trovarne ampiezza e fase .

Si può procedere con le formule della trigonometria, ma è molto scomodo.

Si può invece osservare che i parametri da individuare sono due, che due numeri individuano un punto nel piano, e pensare di stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano e sinusoidi isofrequenziali.

Se potessimo disporre di numeri che trasformano le comuni operazioni algebriche in spostamenti sul piano, così come le operazioni con i numeri reali determinano spostamenti su una retta orientata, potremmo calcolare i due parametri, ampiezza e fase, molto più comodamente.

Questi numeri ci sono e sono detti numeri complessi.

I numeri complessi sono proprio le coppie ordinate di numeri reali .

Individuano dunque univocamente un punto del piano cartesiano che è, in questo caso, chiamato piano di Gauss, il grande matematico del secolo XIX che né indagò a fondo le proprietà.

Un punto P è individuato, ad esempio, dalla sua distanza dall’origine e dall’angolo ( q ) che la congiungente del punto con l’origine forma con il verso positivo di una retta orientata di riferimento passante per l'origine (sarà in generale coincidente con l’asse delle ascisse del piano cartesiano).

Sono due numeri reali: il primo è detto modulo, il secondo argomento del numero complesso che rappresenta il punto P. I due numeri reali sono le coordinate polari di P ed il numero complesso si dice in tal caso in forma polare .

Il punto P può essere anche individuato dalle coordinate cartesiane (a, b) facilmente ricavabili dalle coordinate polari:

a=M . cos q

b =M . . sin q

5. 5

Il punto P è l’estremo del vettore OP che ha come vettori componenti un vettore di lunghezza a parallelo alle ascisse(OA) ed un vettore di lunghezza b parallelo alle ordinate(OB).

E’ naturale scrivere OP=OA+OB , una somma vettoriale.

Gli estremi dei due vettori A e B sono punti del piano, quindi numeri complessi, rappresentati rispettivamente dalla coppia di reali (a, 0) e (0, b): ecco perché la somma di numeri complessi è una somma vettoriale (o geometrica).

Non possiamo evidentemente scrivere a+b il cui risultato geometrico potrebbe essere solo un punto di uno dei due assi coordinati (a+b, 0) o (0, a+b).

Si può e si deve invece eseguire la somma delle coordinate corrispondenti e scrivere (a, 0)+(0, b)=(a+0, b+0)=(a, b). E’ un primo passo, ma la notazione è poco maneggevole; ed inoltre come eseguire e che significato dare alla moltiplicazione e alla divisione?

E’ possibile avere una notazione più comoda? Dobbiamo, per raggiungere il nostro scopo, trovare un modo per indicare che B sta sulle ordinate.

Pensiamo ad esempio di “inventare” questa operazione:

OB=j . b .

Moltiplicando cioè algebricamente un numero reale b, che rappresenta un vettore parallelo alle ascisse, per quello che per il momento è solo un simbolo, j, otteniamo un vettore della stessa lunghezza ma parallelo alle ordinate: j è uno strumento, in matematica si dice un operatore , che moltiplicato per un vettore lo fa ruotare di 90° in senso antiorario nel piano di Gauss. Possiamo scrivere allora OP=a+j . b , convenendo di indicare con a il vettore OA.

E’ un’invenzione utile, ma ha una conseguenza che sorprende chi pensa alla matematica come a qualcosa di diverso da un insieme di strumenti concettuali, fondamentalmente arbitrari, ma che una volta inventati e funzionanti, sono perfettamente legittimi.

La conseguenza è che eseguendo due volte la moltiplicazione per j, cioè calcoliamo j 2. b, ci accorgiamo di ottenere – b, quindi dobbiamo dire che

j 2 = - 1 5. 6

La sorpresa è che si è sempre asserito che non esiste la radice quadrata di un numero negativo, mentre qui troviamo che j è proprio la radice quadrata di –1!

Ma per potersi sorprendere occorre aver dimenticato una parte della frase, un aggettivo che doveva qualificare il numero: non esiste alcun numero reale che sia la radice quadrata di un numero negativo.

La sorpresa non finisce in quanto ci si rende conto che l’operatore “inventato” altro non è che un numero complesso. Corrisponde infatti al punto (0, 1) del piano di Gauss: l’operazione j . 1 , che con le consuete regole algebriche è semplicemente j , fa ruotare il vettore unitario che ha inizialmente l’estremo nel punto (1, 0) in modo da portarlo proprio in (0, 1). Quindi

j . 1=j=(0, 1) .

Questo numero è detto unità immaginaria , un aggettivo che appare un residuo storico della sorpresa. I punti dell’asse delle ordinate sono detti immaginari , mentre tutti i numeri dell’asse delle ascisse sono detti reali.

Nella notazione cartesiana il numero complesso è costituito dunque da una parte reale , a , ed una parte immaginaria b che si distinguono perché la seconda è preceduta dal fattore j.

Con i numeri complessi scritti nella forma detta rettangolare o cartesiana, è possibile eseguire tutte le operazioni utilizzando le comuni regole dell’algebra. L’accorgimento da avere è sostituire ogni j 2 con – 1 (quindi j 3 = -j, j 4 =1, ecc).

fig. 5. 6

Le operazioni con le sinusoidi isofrequenziali sono trasformate dunque in operazioni con i complessi.

Basta far corrispondere alla sinusoide di ampiezza M e fase q il punto nel piano di Gauss di coordinate polari M, q .

Ogni operazione può essere eseguita con le solite regole algebriche utilizzando del numero la forma cartesiana z=a+j . b (dove a e b si ricavano con le 5.5).

Eseguendo i calcoli con una normale calcolatrice scientifica è spesso conveniente procedere in forma mista, eseguendo le somme algebriche in notazione cartesiana (somma delle parti reali e somma delle parti immaginarie) e le moltiplicazioni ed i rapporti in forma polare.

Infatti per la forma polare

il prodotto di due complessi è un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti, mentre il loro rapporto è un numero complesso che ha per modulo il rapporto dei moduli e per argomento la differenza degli argomenti.

Per le somme algebriche si usa la notazione cartesiana applicando la regola:

la somma (o differenza) di due numeri complessi è un numero complesso che ha come parte reale la somma ( o differenza) delle parti reali e come parte immaginaria la somma (o differenza) delle parti immaginarie.

Le calcolatrici scientifiche hanno tasti specifici per passare da una rappresentazione all’altra (trasformazioni di coordinate); alcune hanno anche la possibilità di eseguire direttamente le operazioni con i complessi.

Nella figura 5.6 è sintetizzato quanto sopra esposto e sono graficamente illustrate le quattro operazioni. (NB: un quadratino ha lato unitario).

Vediamo un esercizio che applica il metodo di calcolo esposto.

Esercizio 5. 1

In un nodo confluiscono 4 rami. Sono note le correnti sinusoidali di frequenza 50 Hz di tre rami, le quali, assunto il verso per tutte entrante, sono espresse da:

i 1 (t)=5*sin(wt-30);

i 2 (t)=10*sin(wt+45);

i 3 (t)=15*sin(wt+120).

Si desidera calcolare i 4 (t), considerandola uscente dal nodo.

La pulsazione w =360*50=18000 gradi/s (314 rad/s ) della sinusoide risultante per la intensità i 4, è la stessa delle altre tre correnti. Per trovarne ampiezza e fase ricorriamo ai numeri complessi.

Dal I pdk, per i valori istantanei si ha

i 1 (t)+ i 2 (t)+ i 3 (t)= i 4 (t)

che, dopo aver rappresentato le tre sinusoidi nel piano di Gauss con i 3 numeri complessi I 1 =5 /-30, I 2 =10 /45, I 3 =15 /120 , diventa

I 4 =I 1 +I 2 +I 3

Trasformando la forma polare dei numeri in forma cartesiana (con le 5.5)

=5 . (cos30-j . sin30) +10 . (cos45+j . sin45)+15 . (cos120+j . sin120)=

=4, 33-j . 2, 5+7, 07+j . 7, 07-7, 5+j . 13=3, 9+j . 17, 57=18 / 77°

quindi trasformando il numero complesso in sinusoide di pulsazione w si ottiene

i 4 (t)=18 . sin(w . t + 77°)

Nella fig.5.7 a sono mostrati i grafici delle sinusoidi componenti e della loro somma, e nella 5.7 b quella dei corrispondenti vettori rappresentativi la cui lunghezza è scelta proporzionale ai valori massimi.

a

b

L’esempio precedente mostra come si applicano i principi di Kirchoff in c.a.s.

Essi sono validi per i valori istantanei delle intensità confluenti in un nodo e per le tensioni dei rami di una maglia e, data la corrispondenza biunivoca tra sinusoidi isofrequenziali e numeri complessi-vettori, mantengono la loro validità in ogni ambiente.

Quindi in campo complesso si avrà, rispettivamente per il primo e per il secondo pdK

S I =0 5. 7

S U =0 5. 8

Dove I ed U sono i numeri complessi rappresentativi delle correnti e delle tensioni.

E’ bene ricordare che si tratta di somme geometriche, quindi i vettori rappresentativi delle 5.7 e 5.8, posti uno di seguito all’altro, formano un poligono chiuso (fig. 5.8)

Non è male ricordare che in una somma geometrica la lunghezza del segmento risultante è sempre inferiore od al massimo uguale alla somma delle lunghezze dei segmenti componenti; può essere anche inferiore agli addendi ed essere perfino nulla: è questo il caso in cui le grandezze hanno identica ampiezza e sono in opposizione di fase.

Nella fig. 5.9 sono riassunte le proprietà del bipolo resistore alimentato da una tensione sinusoidale.

L’intensità di corrente è, in ogni istante proporzionale alla tensione. Quindi il rapporto tra i valori efficaci di tensione e di corrente è R (ed anche tra i valori massimi).

Inoltre tensione e corrente si annullano contemporaneamente e raggiungono i massimi dello stesso segno nello stesso istante: sono in fase .

Nella figura è indicata la forma polare dei numeri complessi che rappresentano tensione e corrente nel piano di Gauss ed è mostrata la relazione conclusiva: il numero complesso che rappresenta la tensione si ottiene dal numero complesso che rappresenta la corrente moltiplicando quest’ultimo per il numero reale uguale al valore della resistenza:

I vettori corrispondenti ai due numeri sono paralleli e concordi.

Quanto sopra è sintetizzato dalla relazione

U = R . I 5. 9

Dove R è il numero reale positivo che corrisponde alla resistenza: è la legge di Ohm in c.a.s. per il bipolo resistore

fig. 5. 9

Esercizio 5.

Una resistenza di 1 k W è sottoposta alla tensione di frequenza 10 kHz, valore efficace 12 V e fase 30°. Scrivere l’espressione analitica della corrente.

Il valore massimo della corrente è I M =U M /R=12*1, 41/1000=16, 9mA. La frequenza della corrente è la stessa e la corrente è in fase con la tensione. Quindi, calcolando la pulsazione in gradi/s: I(t)=16, 9 . sin(3, 6*10 5. t+30°), oppure in rad/s I(t)=16, 9 . sin(6280 . t+ p /6)

La fig. 5.10 riassume le proprietà del bipolo condensatore.

Nel bipolo condensatore l’intensità di corrente è in ogni istante proporzionale alla velocità con cui varia la tensione la quale, a sua volta è proporzionale alla pulsazione, cioè alla frequenza: quanto più alta è la frequenza, tanto minore è il tempo impiegato dalla tensione per passare da un valore ad un altro, per esempio da zero al valore massimo (a parità di valore massimo).

Non è difficile intuire, osservando la sinusoide tensione e ricordando il significato della derivata descritto nell’art. 2, che l’intensità di corrente è massima quando la tensione si annulla ed è nulla quando la tensione è massima; inoltre essa è positiva quando la tensione cresce ed è negativa quando la tensione diminuisce.

L’intensità di corrente è allora una sinusoide in quadratura d’anticipo rispetto alla tensione.

Il rapporto tra i valori efficaci di corrente e tensione, coincide con il prodotto della pulsazione (espressa in rad/s) per la capacità. L’inverso, cioè il rapporto tra il valore efficace della tensione e della corrente, è detto reattanza capacitiva; è indicato con X C , si misura in secondo diviso farad che è ohm :[F] -1 [s]=[C] -1 [V][s]=[V][A] -1 =[ W ] ed è

X C =1/2 p fC=1/ w C 5. 10

Il vettore corrente si ottiene, come direzione e verso, dal vettore tensione ruotandolo di 90° in senso antiorario, quindi moltiplicando per j il numero complesso che lo rappresenta, come modulo dividendo il la tensione per la reattanza. Quindi

I = j . U /X C 5. 11

Si può anche scrivere

U = - j . X C . I 5. 12

fig. 5. 10

Esercizio 5. 3

Ad un condensatore di 220 mF è applicata una tensione alternata u(t)=15 . sin(1256*t- p /4). Determinare l’espressione della intensità di corrente.

Per il bipolo induttore si possono ripetere le considerazioni fatte per il condensatore scambiando la tensione con l’intensità.

La fig. 5.11 riassume le proprietà del bipolo induttore.

La tensione è dunque in ogni istante proporzionale alla velocità di variazione della corrente (che è l’accelerazione delle cariche), quindi alla frequenza. La tensione è allora nulla dove la corrente è massima, ed è massima dove la corrente è nulla, punto in cui possiede la sua massima velocità (cioè le cariche sono soggette alla massima accelerazione). La tensione è positiva quando la corrente cresce (passa dal valore massimo negativo al valore massimo positivo), negativa quando cala (passa dal valore massimo positivo al valore massimo negativo).Tutto questo si esprime dicendo che la corrente è in quadratura di ritardo rispetto alla tensione. Ciò significa che il vettore rappresentativo della corrente si ottiene ruotando di 90° in senso orario quello rappresentativo della tensione. Il rapporto tra i valori efficaci di tensione e di corrente, proporzionale alla frequenza è dato dal prodotto della pulsazione (espressa in rad/s) per il coefficiente di autoinduzione L:

X L = 2 p f . L= w . L 5. 13

si chiama reattanza induttiva e si misura in henry diviso secondo che è l’ ohm: [ W ]= [H][s] -1 =[ W ][s][s] -1 =[W].

Se indichiamo con I il vettore corrente, il vettore tensione U lo otteniamo ruotando I di 90° in senso antiorario, quindi moltiplicandolo per j, e determinando il suo modulo con la moltiplicazione per X L :

U=j . X L .I 5. 14

fig. 5. 11

Esercizio 5. 4

In un induttore la circolazione di una corrente i(t)=6 . sin(314 . t- p /6) determina ai suoi terminali una tensione di valore efficace U=50 V. Determinare il valore del coefficiente di autoinduzione e scrivere l’espressione della tensione.

Esercizio 5. 5

Affinché sia R, L e C siano attraversate da intensità di corrente uguali sotto la stessa tensione è necessario che il valore della resistenza R sia uguale al valore delle reattanze X L ed X C .

Si ha allora

R=U/I=200/4=50 W

L=R/w = 50/(314)=0, 159 H

C=1/wR=1/(314*50)= 63, 7*10 -6 F

Se la frequenza raddoppia la reattanza capacitiva dimezza mentre quella induttiva raddoppia. La resistenza invece non cambia

Quindi

I R =4 A

I C =8 A

I L = 2 A

Per trovare l’intensità assorbita dal parallelo basta sommare istantaneamente le tre correnti

i(t)=i R (t)+i C (t)+i L (t)

Ragioniamo dapprima sui valori istantanei, utilizzando le osservazioni fatte a proposito di grandezze in fase-opposizione e quadratura all’inizio.

Nel primo caso I C ed I L sono uguali ed in opposizione di fase, quindi in ogni istante la loro somma è nulla per cui

i(t)=i R (t)

i(t)=(4 . senwt + 4 . sen(wt+90)+4 . sen(wt-90)/0, 707=
= 5, 65 . sen(18000 . t)

Nel secondo caso i L ed i C sono sempre in opposizione di fase ma prevale i C : il valore massimo della somma è è dunque di 6/0, 707 A= 8, 48 mentre la i R è come detto immutata ed è in quadratura con la precedente somma. Si ha allora, eseguendo i calcoli:

i(t)=(4 . sen2wt + 8 * sen(2wt+90)+2 . sen(2wt-90)/0, 707=

=5, 66 . sen2wt +8, 48 . sen(2wt+90)=

=10, 2 . sen(2wt+56, 3)

L’uso dei numeri complessi rende le operazioni più generali.

I=U/R+U/jX L +U/(-jX C )=

Se X L = X C , I=U/ R

Quando la frequenza raddoppia

X L =314 . 2 . 0, 018=100 W

X C= 10 6 /(314 . 2 . 63, 7) = 25 W

quindi

I =200/50 + (200/j) . (1/100-1/25)= 4+2/j-8/j= 4-6/j=
= 4+j6= 7, 2 /56, 3 ( NB: 1/j = j -1 = -j)

In questo articolo abbiamo visto cosa sono e come si trattano matematicamente le grandezze sinusoidali, fondamentali nell’elettrotecnica per ragioni pratiche e teoriche.

Si è esaminato come scrivere la relazione tra tensione e corrente nei tre bipoli passivi fondamentali. Per i generatori indipendenti basterà riscrivere le definizioni dell’art. 2 sostituendo ai valori di e(t), U AB (t), i 0 (t), i numeri complessi E, U AB , I 0 .

Si intuisce allora come tutte le definizioni relative ai collegamenti tra bipoli, quindi in generale tutti i teoremi sulle reti lineari, possano essere scritti per i numeri complessi rappresentativi delle grandezze sinusoidali.

Il legame tra i numeri complessi rappresentativi delle grandezze sinusoidali tensione è corrente, è a sua volta un numero complesso chiamato impedenza.

Non è mai da dimenticare il significato geometrico dei numeri complessi, che fa definire il calcolo con essi condotto, calcolo vettoriale.

I grafici vettoriali che visualizzano i calcoli sul piano di Gauss, sono costantemente un forte ausilio per la comprensione delle relazioni tra le grandezze sinusoidali.