Il teorema di thevenin
IL TEOREMA DI THEVENIN
Il teorema di Thevenin fornisce una via di risoluzione di reti elettriche lineari complesse. L'applicazione di questo teorema facilita l'analisi del circuito solo se i calcoli per la determinazione della Vth e della Rth sono di immediata esecuzione; se invece il calcolo risulta troppo complesso, la facilitazione offertaci dall'utilizzo del teorema perde di efficacia a meno che non si debba ripetere più volte la determinazione delle grandezze elettriche sul carico se questo è di valore variabile.
Il teorema di Thevenin stabilisce che una rete elettrica lineare ''vista'' a una coppia qualsiasi di morsetti (nel caso della figura i morsetti A e B ) è equivalente ad un circuito lineare composto da un generatore di tensione VTH con in serie una resistenza RTH.
Il circuito di Thevenin e la rete data, visti ai morsetti A e B, risultano equivalenti ossia presentano le stesse grandezze elettriche. Il valore VTH corrisponde alla tensione a vuoto Vab cioè alla tensione presente ai terminali A e B quando non circola nessuna corrente fra di essi. La RTH è la resistenza dell'intera rete vista ai morsetti considerati. Questa si determina annullando gli effetti di tutti i generatori presenti nella rete, cioè cortocircuitando quelli di tensione e scollegando quelli di corrente, e calcolando quindi la resistenza vista alla coppia di morsetti.
A volte per snellire l'analisi di un circuito complesso può essere conveniente semplificare una o più parti del circuito in esame determinandone l'equivalente di Thevenin. Ciò è possibile ''scollegando'' la porzione di circuito interessata e calcolandone quindi, come circuito a sé stante, l'equivalente di Thevenin.
Si consideri la seguente rete:
| Si propone di determinare la corrente che circola nella R3. Si applica il teorema alla maglia evidenziata in figura, la quale non comprende R3, sostituendola con un circuito equivalente di Thevenin come si può vedere nella figura successiva . Il valore del generatore Vth corrisponde alla tensione a vuoto fra A e B, ossia alla tensione fornita dalla maglia evidenziata in figura quando è scollegata dal ramo contenente E2 ed R3. La resistenza Rth, cioè la resistenza vista ai morsetti A e B quando il generatore E1 è posto in cortocircuito e la maglia è scollegata dal resto della rete, è uguale al parallelo delle resistenze R1 e R2.
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| Applicando il principio di Kirchhoff, il quale afferma che in una maglia la somma algebrica delle tensioni è uguale alla somma delle cadute sulle resistenze, la corrente I 3 risulta essere :
Nel caso in cui Vth sia maggiore di E2, la corrente I 3 circolerà come indicato in figura mentre nel caso contrario la corrente I 3 circolerà nel verso opposto.
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Si propongono due esercizi in cui compaiono reti elettriche complesse, risolti mediante l'applicazione del teorema di Thevenin:
Nel seguente circuito si vuole calcolare la corrente che percorre R3.
| R1 = 100 W R2 = 50 W R3 = 10 W R4 =25 W R5 = 50 W E1 = 100V E2 = 50V I 3 = ? |
Si applica il teorema di Thevenin alle due parti di circuito evidenziate e cioè alle coppie di morsetti AB e CB. Le due maglie vengono semplificate, come si può vedere nelle figure sottostanti, e il circuito si riconduce ad una semplice rete con due generatori Vth, due resistenze Rth ed una resistenza R3.
Semplificazione 1
Semplificazione 2
| Il metodo per ricavare la Vth' e la Rth' è identico a quello proposto nella Semplificazione 1 .
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Circuito risultante dopo la semplificazione
| Ora il calcolo della corrente I 3 risulta molto più semplice ed è sufficiente applicare il primo principio di Kirchhoff alla maglia in figura. Il verso della corrente I 3 è imposta dal generatore che possiede la F.E.M. maggiore. In questo particolare caso nel circuito non scorre corrente poiché i due generatori hanno lo stesso valore e verso opposto. La corrente I 3 risulta quindi :
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Nel seguente circuito si vuole calcolare le potenza dissipata da R1.
| E1 = 100V E2 = 75V R1 = 100 W R2 = 25 W R3 = 50 W R4 = 75 W Io = 0.9A I1 = ? |
Come per il circuito precedente si applica il teorema di Thevenin alle maglie evidenziate e cioè alle coppie di morsetti AB e AC. Il circuito viene perciò semplificato come mostra lo schema sottostante.
Semplificazione 2
| Un generatore di corrente con in parallelo una resistenza è riconducibile ad un generatore di tensione moltiplicando il valore del generatore di corrente per la resistenza.
La resistenza Rth vista dalla coppia di morsetti AC è uguale a R3 perché il generatore Io viene scollegato dalla rete formando così un circuito aperto.
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Semplificazione 1
| Il metodo applicato per determinare la Vth e la Rth è identico a quello utilizzato nella Semplificazione 1 dell'esercizio precedente.
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Circuito risultante dopo la semplificazione
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Si propone di determinare la corrente che circola nella resistenza R4 utilizzando il teorema di Thevenin.
| E1 = 100V E2 = 50V IO = 0.9A R1 = 100 W R2 = 50 W R3 = 25 W R4 = 75 W R5 = 120 W I4 = ? [ I4 = 0.158 A ] |
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