In questo articolo e nel successivo, tratteremo circuiti elettrici semplici e complessi (reti ), discutendone i principali metodi di soluzione.Si farà riferimento a reti lineari , costituite da bipoli le cui caratteristiche (R, L, C, E, I 0 ) non dipendono dai valori di tensione e corrente.Risolvere una rete significa saper determinare il valore di ogni corrente e di ogni tensione.Quando si conoscono gli elementi costitutivi ed i loro collegamenti, i due principi di Kirchhoff forniscono il numero di equazioni risolutrici. Essi saranno enunciati per grandezze variabili nel tempo, ma nell'applicarli, per semplicità matematica, considereremo grandezze continue. Le reti saranno allora costituite da generatori e resistori essendo , in continua, i condensatori circuiti aperti e gli induttori cortocircuiti. Procedimenti in tutto simili possono applicarsi in continua alle reti ( che però non tratteremo) di generatori e condensatori, nel qual caso al calcolo delle correnti, che sono nulle, corrisponde il calcolo della carica dei condensatori, mentre le capacità svolgono il ruolo matematico delle conduttanze.Gli stessi metodi algebrici, dopo opportune trasformazioni, sono applicabili anche in regime variabile: lo si vedrà in particolare per le grandezze alternate sinusoidali negli art. 5 e 6

Collegamenti fondamentali tra bipoli

Serie : due bipoli si dicono in serie quando sono attraversati dalla stessa intensità di corrente.Essi in tal caso hanno in comune un terminale ed in questo punto comune non converge nient'altro.Possono essere in serie sia bipoli generatori che bipoli utilizzatori logicamente compatibili: non ha senso la serie di due generatori ideali di corrente in quanto la corrente dovrebbe assumere contemporaneamente due valori diversi.

Parallelo: due bipoli sono in parallelo quando sono collegati agli stessi due punti. Ai capi dei bipoli in parallelo c'è dunque la stessa d.d.p . Possono essere posti in parallelo sia bipoli utilizzatori che generatori logicamente compatibili: non ha senso il parallelo di due generatori ideali di tensione in quanto la tensione ai loro capi dovrebbe assumere due valori diversi contemporaneamente.

Circuito semplice è un percorso chiuso formato da bipoli in serie. Tra i bipoli connessi ci sarà almeno un bipolo generatore ed almeno un bipolo utilizzatore.

Secondo principio di Kirchhoff

Se immaginiamo l'unità di carica compiere un percorso completo, quindi partire dal punto a potenziale A ed arrivare allo stesso punto, il lavoro totale, o, ciò che è lo stesso, l'energia totale trasformata, è nulla. Ciò significa che attraversando i bipoli utilizzatori la carica ha perso completamente l'energia acquistata transitando attraverso i bipoli generatori. Ricordando il significato di tensione (o differenza di potenziale), è immediato tradurre la constatazione in quello che è noto come secondo principio di Kirchhoff (II pdK).

Esso vale per qualsiasi percorso chiuso di bipoli, anche se questo non costituisce un circuito semplice, ma fa parte di un circuito complesso (nel qual caso si parlerà di maglia ). Afferma che:

In in percorso chiuso qualsiasi, la somma algebrica delle tensioni ai capi dei bipoli che lo costituiscono è nulla.

S u i (t)=0 3. 1

Scelto un verso arbitrario di percorrenza della maglia (v.p.), sono positive le tensioni la cui freccia rappresentativa (art.1, fig. 1.3 ) è concorde al v.p., negative le altre.Per le grandezze continue scriveremo

S U i =0 3. 2

Come ogni equazione, il principio è un vincolo per le tensioni dei bipoli interessati. Da solo consente di determinare una tensione incognita note che siano tutte le altre. Ovviamente se è noto il bipolo di cui si è calcolata la tensione incognita, si può calcolarne la corrente che, nel caso di circuito semplice, è l'intensità del circuito stesso. Una semplice ed utile applicazione di quest'ultima considerazione è:

la legge di Ohm per un circuito chiuso

La enunciamo per un circuito in continua costituito da generatori ideali di tensione e resistenze.Fissato arbitrariamente un verso per la corrente, la sua intensità è data dal rapporto tra la somma algebrica delle forze elettromotrici e la somma aritmetica delle resistenze.

I= S a E / S R 3. 3

Si considerano positive le f.e.m. dei bipoli che, rispetto al verso della corrente, rispettano la convezione del generatore ( intensità uscente dal +).La fig. 3.1.a mostra un esempio.

Fig. 3. 1

Si definisce ramo la serie aperta di due o più bipoli. E' dunque a sua volta un bipolo, i cui poli sono i terminali liberi del primo e dell'ultimo dei componenti. E' pertanto caratterizzato da una intensità di corrente e da una tensione. Se indichiamo con u AB (t) la tensione ai suoi capi, essa può essere determinata dalla conoscenza della composizione del ramo e dall'applicazione del II p.d.K. considerando come chiusura del ramo la stessa tensione. Si può allora scrivere:

u AB (t) + S u i (t)=0 3. 4

in cui le u i (t) sono le tensioni dei bipoli elementari del ramo.Il calcolo della tensione ai capi del ramo così condotto, è spesso chiamata legge di Ohm generalizzata. In pratica, si può dire che la tensione tra due punti è la somma algebrica delle tensioni ai capi dei bipoli che formano un percorso che unisce i due punti . Rappresentata ad esempio la tensione da calcolare U AB con la solita freccia verso A, si prendono con il segno + le tensioni dei bipoli la cui freccia rappresentativa è rivolta verso A, negative le altre. La fig. 3.1. b mostra l'esempio: si lascia al lettore l'immediata verifica dell'uguaglianza con l'applicazione della definizione di differenza di potenziale.

Esercizio 3. 1

Fig 3.2

Nel circuito di figura

R 1 =R’ 1 =R 3 =100 W;

E1=50 V, E 3 =100 V;

I 1 =2 A; I 3 =1 A

Determinare la tensione tra B e massa ed il valore di E.

Applicando la legge di Ohm generalizzata si ha

U BM =-U CB -U DC -U AD +U AF +U FM = - E 1 - R 1 *I 1 – R’ 1 *I 1 + R 3 *I 3 + E 3 =-50-2*100-2*100+1*100+100= - 250 V

Inoltre

E=U AM =R 3 *I 3 +E 3 =100*1+100=200 V

Esercizio 3. 2

Fig.3.3

Con riferimento alla fig. 3.3 si propone l'esercizio.

E 1 =150 V; E 2 =50 V; E 3 =60 V

I 1 =2 A; I 2 =4A

R 1 =50 W ; R 3 =10 W ;

Calcolare le tensioni U AB , U AM , U BM

(110 V; 50 V; -60V)

Come importante applicazione della legge di Ohm generalizzata, consideriamo il bipolo costituito dalla serie di un generatore ideale di tensione con un resistore. L’intensità di corrente dà luogo, ai capi della resistenza, ad una tensione opposta a quella della f.e.m. se la corrente esce dal +, concorde se vi entra.

U AB =E-R i *I per il generatore 3. 5

U AB =E+R i *I per l’utilizzatore attivo 3. 6

E' molto istruttivo soffermarsi sulle proprietà energetiche del generatore reale.Se I=0 ( funzionamento a vuoto ) la tensione ai morsetti è pari alla f.e.m. del generatore.

(U AB ) I=0 =E 3. 7

La 3.7 fornisce il criterio per misurare la f.e.m. di un generatore di tensione: un voltmetro ideale ai suoi morsetti quando non c'è alcun carico collegato fornisce il valore di E.

(I) U AB=0 =Icc=E/R i 3. 8

La 3.8 fornisce il criterio per misurare la Icc: si cortocircuitano i morsetti del generatore e si misura l'intensità di corrente con un amperometro ideale. La possibilità è però spesso teorica in quanto la corrente di cortocircuito è troppo elevata per il generatore. Se è possibile annullare la E si può ricorrere alla misura di R i .

Per le potenze si ha

Si definisce rendimento elettrico del generatore il rapporto

h =P u /P G 3. 12

La fig. 3.4.sintetizza graficamente le precedenti considerazioni.

fig. 3. 4

I grafici sono normalizzati: in ordinate ci sono le potenze relative alla massima potenza del generatore (potenza di cortocircuito: P cc =E*I cc ), in ascisse il rapportto tra la I e la I cc . La massima potenza in uscita si ha per I=I cc /2, quando il rendimento è del 50%, ed è un quarto della P cc . Si ha quando il resistore alimentato ha un valore pari alla resistenza interna del generatore: R=R i è detta condizione di adattamento . E' una condizione che si cerca di ottenere per generatori di segnale, dove la potenza è piccola. Quando invece si ha a che fare con generatori di potenza, il rendimento più alto possibile è l'esigenza predominante. Questo si ottiene per correnti molto inferiori alla I cc . Generalmente si definisce per il generatore una corrente nominale, I N , che è l'intensità per cui esso è dimensionato, è cioè la massima corrente erogabile per un tempo illimitato. Per i generatori di potenza la I cc è molto maggiore di I N (qualche decina a volte centinaia di volte) e distruggerebbe in brevissimo tempo il generatore, se non fosse protetto.

Esercizio 3. 3

Un generatore la cui potenza di cortocircuito è di 10 kW e la cui tensione a vuoto è di 50 V, alimenta una resistenza di 5 W . Calcolare la corrente erogata ed il suo rendimento

La resistenza interna del generatore è R i =E 2 /P cc = 50 2 /10 4 =0, 25 W. Per la legge di Ohm per un circuito chiuso si ha I=E/(R i +R)=50/5, 25=9, 52 A. La tensione sul carico è U=R*I=5*9, 52=47, 6 V La potenza erogata P u =U*I=47, 6*9, 52=453 W La potenza generata P g =E*I=50*9, 52=476 W

Il rendimento elettrico h =P u /P g =453/476=0, 952 (95, 2%)

Esercizio 3. 4

h%=100*U/E=40/0, 488=82%

Un circuito complesso è un insieme di circuiti semplici aventi rami in comune.

In un nodo la somma algebrica delle intensità di corrente dei rami che vi confluiscono è in ogni istante nulla .

Convenzionalmente si considerano positive le intensità entranti nel nodo, negative quelle uscenti, ma ovviamente nulla cambia scegliendo la convenzione opposta. Il principio può anche essere enunciato nella forma:

Per le grandezze continue:

S I=0 3. 14

La fig. 3.5 mostra graficamente l'applicazione dei due principi

fig. 3. 5

Consideriamo la rete di fig. 3.6.I rami sono l=6 ed i nodi n=4 ; 3 =l-(n-1) sono le maglie indipendenti. Le maglie che è possibile individuare sono in realtà più di tre, ma bisogna considerare solo quelle che danno luogo ad equazioni indipendenti. Un metodo sicuro per individuarle è il seguente: si inizia considerando una qualsiasi maglia, se ne elimina un ramo, si considera una nuova maglia nel sottoinsieme di rami rimasti, si elimina di nuovo un suo ramo e così si procede fino a che non ci sono più maglie chiuse. L'insieme dei rami rimasti, che uniscono tutti gli n nodi senza formare maglie si chiama albero della rete, l'insieme dei rami eliminati è il co_albero ed il numero di rami del co_albero è il numero delle maglie indipendenti. Considerando noti i generatori e le resistenze, risolvere la rete significa determinare le intensità di corrente nei rami e le d.d.p. ai capi dei generatori di corrente. Occorre allora fissare, arbitrariamente , il verso delle correnti incognite nei rami e la polarità delle tensioni ai capi dei generatori ideali di corrente. Per una più rapida scrittura del II p.d.K. che evidenzi le correnti incognite, tenendo conto della definizione di generatore ideale di tensione e della legge di Ohm si ha:

S a R*I+ S a U g = S a E 3. 15

cioè in una maglia, la somma algebrica dei prodotti R*I dei rami e delle tensioni ai capi dei generatori ideali di corrente, è uguale alla somma algebrica delle f.e.m. dei generatori ideali di tensione. Scelto un arbitrario verso di percorrenza della maglia (v.p.), si considerano positivi i prodotti R*I , per i quali la I è concorde con il v.p, positive le f.e.m. per le quali il v.p. è uscente dal terminale contrassegnato con il + , negative le altre; si considerano inoltre positive le Ug la cui freccia rappresentativa è discorde con il v.p., negative le altre.

Facciamo riferimento al circuito di fig. 3.6. Per le prove numeriche siano:

R 1 =10 W ; R' 1 =15 W ; R 2 =20 W ; R 3 =50 W ; R 4 =25 W ; R 5 =100 W ; E 1 =150 V; E 2 =100 V; E 3 =50 V; E 4 =50 V;I 0 =2 A

fig. 3.6

Si hanno le equazioni per i nodi A, B, D rispettivamente

E' però didatticamente molto utile procedere passo-passo, come nell'esercizio 3.5 ora proposto :

Esercizio 3. 5

fig. 3.7

Con riferimento alla fig. 3.7

R 1 =30 W ; R 2 =20 W ; R 3 =15 W ;

E 1 =30 V;

I 2 =3 A;

V B = - 60 V.

Calcolare V A .

Indicando con C il nodo di connessione dei tre rami si ha per definizione V A =U AC +V C che è la risposta alla domanda, note U AC e V C . La tensione U AC per la legge di Ohm è data da U AC =R 3 *I 3 avendo posto I 3 entrante dal nodo A. Per il I pdK nel nodo C, l'intensità I 3 si ricava daI 3 +I 1 -I 2 =0, avendo indicato con I 1 la corrente in R 1 entrante in B.Applicando la legge di Ohm generalizzata, I 1 si ricava dallaU CB =V C -V B =E 1 -R 1 *I 1 . Per la legge di Ohm, per la definizione di d.d.p. e per la definizione di massa, V C si ricava dalla U CM =V C =R 2 *I 2. Sostituendo i valori numerici e ripercorrendo a ritroso le formule scritte si ottiene il risultato (V A =150V)

• L'equazione di una maglia comprendente un generatore di corrente è: corrente di maglia = + corrente del generatore ( m= + I 0 ).
• Per le altre si può applicare la regola seguente, qui enunciata per grandezze continue, quindi per reti costituite da generatori e resistenze. Nell'equazione di una maglia la corrente di maglia ha come coefficiente la somma di tutte le resistenze della maglia, mentre le correnti delle maglie aventi rami in comune, hanno come coefficiente la somma delle resistenze dei rami condivisi cambiate di segno se le correnti di maglia hanno verso opposto. Le correnti delle maglie che non hanno rami in comune non compaiono, il che significa che, matematicamente, il loro coefficiente è zero. Il secondo membro dell'equazione è costituito dalla somma algebrica delle f.e.m. dei generatori della maglia considerate positive se la corrente di maglia esce dal terminale positivo. NB: Bisogna avere l'avvertenza di non considerare il ramo con un generatore di corrente come ramo comune a due maglie

Per la maglia m 1 (BACA) e per la maglia m3 (BCADB) le equazioni sono rispettivamente

Se I 0 è nota i termini contenenti m 2 possono essere inclusi nel secondo membro.

Si ottiene il sistema di due equazioni:

Le intensità di corrente nei rami si calcolano infine con le espressioni

il sistema, risolto, fornisce per le correnti di maglia

m 1 =3, 009; m 3 =-0, 202