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I principi di Kirchhoff

I principi di Kirchhoff

In questa sezione sono spiegati alcuni concetti base della elettrotecnica ed in particolar modo due princìpi che ci permettono di risolvere qualunque rete elettrica comunque sia fatta.

Il principio di Kirchhoff ai nodi

Il primo principio di Kirchoff si riferisce ai nodi della rete ed è del tutto intuitivo, esso esprime il fatto che i movimenti degli elettroni che costituiscono le correnti elettriche soddisfano alla cosiddetta condizione di continuità, vale a dire che in ogni elemento di volume del conduttore interessato entrano da una parte tanti elettroni quanti ne escono contemporaneamente da un’altra parte.
Ciò significa che per ciascun nodo la somma delle correnti in esso entranti è sempre eguale alla somma delle correnti da esso uscenti.
Se si considerano positive le correnti che sono dirette verso il nodo e negative tutte quelle che si allontanano, si può dire che la somma algebrica di queste correnti è nulla.

Più in generale lo stesso principio vale non solo per i nodi veri e propri del tipo rappresentato ad esempio in fig. 1.a) ma anche per qualunque insieme di correnti comunque connesse con un sistema elettrico racchiuso entro una superficie chiusa qualsiasi, reale o immaginaria, del tipo schematizzato ad esempio in fig. 1.b). Nei riguardi delle correnti relative alle connessioni con l’esterno, tale superficie chiusa può essere quindi considerata come un unico “nodo gigante”, qualunque sia la complessità dei circuiti interni. Per entrambi i tipi di nodi rappresentati in fig. 1 si ha quindi la relazione I1+I2+I3+I4+I5 =0
Il primo principio di Kirchhoff viene anche designato col nome di principio di Kirchhoff per le correnti, brevemente indicato con la sigla PKC. Come vedete non è nulla di particolarmente complicato, tutto sommato è un concetto abbastanza intuitivo, soprattutto alla luce delle considerazioni sui flussi di lavoro elettrico che abbiamo fatto altre volte.

Il principio diKirchhoff alle maglie

Detto questo passiamo a considerare il secondo principio di Kirchhoff, esso riguarda le maglie di una rete e afferma che la somma algebrica di tutte le tensioni, ordinatamente misurate fra i nodi che si incontrano percorrendo i lati di una maglia chiusa qualunque, fino a tornare al nodo di partenza, è sempre eguale a zero: con riferimento alla maglia rappresentata in fig. 2, si ha infatti l’identità seguente: VaB + VBC + VCD + VDa = 0
Si può osservare che il risultato è indipendente dalla scelta del verso positivo, perché se si vuol considerare come positivo il verso (aDCBa) si perviene allo stesso risultato solo che la relazione avrà i segni cambiati, cioè moltiplicata per -1.

Un risultato analogo si ottiene per una maglia qualunque se al posto della tensione consideriamo la corrente e la resistenza, legate fra loro dalla relazione V=RI, in questo caso il secondo principio di Kirchoff sarà espresso in funzione delle correnti e non più delle tensioni. In modo più generale possiamo allora formulare la seguente legge:

In una rete di circuiti comunque complessa, la somma algebrica delle f. e. m. che si incontrano percorrendo una maglia chiusa qualunque, è eguale alla somma algebrica delle cadute ohmiche di tensione relative ai lati consecutivi della stessa maglia.

Questo enunciato comprende come caso particolare anche la legge di Ohm (cioè la V=RI )per un solo circuito chiuso con uno o più generatori, nel qual caso si ha semplicemente un’unica maglia senza alcun nodo e perciò una sola corrente. I due principi di Kirchhoff, espressi entrambi in funzione delle correnti, trovano diretta applicazione nella determinazione delle correnti nei singoli lati di una rete qualunque, note le rispettive resistenze elettriche e le forze elettromotrici che vi sono inserite.

Per una rete di n lati, e perciò con n correnti incognite, essi consentono infatti di impostare un sistema di n equazioni indipendenti, la cui soluzione determina i valori di tutte le incognite.
all’atto pratico si procede nel modo seguente. In primo luogo, si fissano sullo schema della rete i versi probabili delle correnti nei singoli lati; Se non si può vedere a priori quali saranno i versi effettivi delle correnti, si assegnano a queste dei versi arbitrari.
Con riferimento ai versi così prefissati si applica il primo principio di Kirchhoff al maggior numero di nodi possibile che possano fornire altrettante equazioni indipendenti fra loro: in generale se i nodi sono n, si possono ottenere in tal modo n - 1 equazioni, perché l’equazione relativa al nodo rimanente è sempre una combinazione di alcune fra le equazioni degli altri nodi.

Dopo di ciò si completa il sistema, fino a ottenere tante equazioni quanti sono i lati della rete, applicando il secondo principio di Kirchhoff, ad un sufficiente numero di maglie diverse.
Se i lati della rete sono L, si dovranno considerare a tal fine L - (n -1) maglie. Queste maglie possono essere scelte ad arbitrio, purché siano tali da fornire altrettante equazioni indipendenti fra loro. In parole povere vuol dire che bisogna escludere quelle maglie che hanno per equazione una combinazione per somma o differenza delle equazioni di due o più maglie già considerate in precedenza. Il concetto è che ogni equazione deve rappresentare una informazione nuova e non riproporre relazioni già indicate da altre equazioni presenti nel sistema.

Risolvendo il sistema di L equazioni lineari così ottenuto, restano allora determinate tutte le L correnti incognite. Se per alcune di queste correnti si ottiene una soluzione negativa, vorrà dire che il loro verso effettivo, nei rispettivi lati, è opposto a quello che era stato fissato in precedenza per scrivere le equazioni dei sistema. Da questo discende la dimostrazione che il senso delle correnti può essere scelto arbitrariamente essendo solo una convenzione valida per lo studio della rete ma priva di significato in sé. Calcolate le correnti di lato si possono calcolare facilmente le relative tensioni di lato.

Occorre anche osservare che le incognite del problema potranno essere anziché le correnti le tensioni o le resistenze dei lati, o eventualmente le correnti di alcuni lati e le resistenze di altri. Oppure ancore le tensioni che devono operare su alcuni lati della rete perché su altri vi siano certe determinate correnti. In ogni caso però la soluzione deve dipendere dai principi di Kirchoff e il numero delle incognite deve essere uguale al numero di lati della rete.